十二重计数法

题目描述

有 \(n\) 个球和 \(m\) 个盒子，要全部装进盒子里。 还有一些限制条件，那么有多少种方法放球？

编号	球是否相同	盒子是否相同	其他条件
I	否	否	/
II	否	否	每盒最多一个
III	否	否	每盒至少一个
IV	否	是	/
V	否	是	每盒最多一个
VI	否	是	每盒至少一个
VII	是	否	/
VIII	是	否	每盒最多一个
IX	是	否	每盒至少一个
X	是	是	/
XI	是	是	每盒最多一个
XII	是	是	每盒至少一个

I

\[F_I[n,m]=m^n\]

II

\[F_{II}[n,m]=\prod_{i=1}^{n}{(m-i+1)}=m^{\underline{n}}\]

III

\[F_{III}[n,m]=\sum_{i=0}^{m}{\left((-1)^{m-i}\times C_i^m\times i^n\right)}\]

IV

\[F_{IV}[n,m]=\sum_{i=0}^{m}{\left(\sum_{j=0}^{i}{\frac{(-1)^{i-j}\times j^n}{j!\times(i-j)!}}\right)}\]

V

\[ F_{V}[n,m]=\left\{\begin{aligned}0 & &(n>m) \\1 & &(n\leq m)\end{aligned}\right.\]

VI

\[F_{IV}[n,m]=\sum_{j=0}^{m}{\frac{(-1)^{m-j}\times j^n}{j!\times(m-j)!}}\]

VII

\[F_{VII}[n,m]=C_{m-1}^{n+m-1}\]

VIII

\[F_{VII}[n,m]=C_{n}^{m}\]

IX

\[F_{VII}[n,m]=C_{m-1}^{n-1}\]

X

\[ F_{X}[n,m]=\left\{\begin{aligned}&1 &(n=0)&\\&0 &(n\not=0\ and\ m=0)&\\&0 &(n<0\ or \ m<0)&\\&F_{X}[n,m-1]+F_{X}[n-m,m]& others&\end{aligned}\right.\]

XI

\[ F_{XI}[n,m]=\left\{\begin{aligned}0 & &(n>m) \\1 & &(n\leq m)\end{aligned}\right.\]

XII

\[F_{XII}[n,m]=F_{X}[n-m,m]\]